Phone Support- 070018908



Езикови курсове по интернет

Матура по математика - 19 май 2011 г. - въпроси
2ri_MATEMATIKA_19_may_2011
Изтегли PDF Версия

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА

ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО

МАТЕМАТИКА

19 май 2011 г. – Вариант 2

УВАЖАЕМИ ЗРЕЛОСТНИЦИ,

Тестът съдържа 28 задачи по математика от два вида:

20 задачи със структуриран отговор с четири възможни отговора, от които само един е верен;

8 задачи със свободен отговор.

Първите 20 задачи (от 1. до 20. включително) в теста са от затворен тип с четири възможни отговора, обозначени с главни букви от А до Г, от които само един е верен. Отговорите на тези задачи отбелязвайте с черен цвят на химикалката в листа за отговори, а не върху тестовата книжка. За да отбележите верния отговор, зачертайте със знака кръгчето с буквата на съответния отговор. Например:

А Б В Г

Ако след това прецените, че първоначалният отговор не е верен и искате да го поправите, запълнете кръгчето с грешния отговор и зачертайте буквата на друг отговор, който приемате за верен. Например:

А Б В Г
 
За всяка задача трябва да е отбелязан не повече от един действителен отговор. Като
действителен отговор на съответната задача се приема само този, чиято буква е
зачертана със знака .        
Отговорите на задачите със свободен отговор (от 21. до 28. вкл.) запишете в

предоставения свитък за свободните отговори, като за задачи от 26. до 28. вкл. запишете пълните решения с необходимите обосновки.

ПОЖЕЛАВАМЕВИ УСПЕШНАРАБОТА!

1

Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбелязвайте в листа за отговори!

1.Числото x = - 1 -2 е от интервала:

2

                    1   1      
A) (3; +8) Б) (-8; -3)   В) - ; +8 Г) ; +8    
                    4   4      
                                 
        3         2              
2. Стойността на израза 3 (1- 3 ) + ( 2 - 3 )     е равна на:        
А) 1- 2 Б)   2 -1     В) 1+ 2 -2 3 Г) 2 3 - 2 -1  
3. Ако x1 и x2 са корените на квадратното уравнение 6x2 + x -2 =0 , то 2x1 и 2x2 са
  корени на уравнението:                      
А) 12x2 +2x -4 =0 Б) 3x2 + x -1 =0   В) 3x2 + x -4 =0 Г) 6x2 -2x +8 =0  
4. Решенията на неравенството x2 + x -6 <0 са:              
        1-x2                    
А) x (-8; -3) (-1;1) (2; +8)           Б) x (-3; -1) (1; 2)      
В) x (-8; -2) (-1;1) (3; +8)           Г) x (-2; -1) (1;3)      
5. Дефиниционната област на израза x1-1 е:                
А) x [0; +8) Б) x (1; +8) В) x (-8;1) (1; +8)

Г) x [0;1) (1; +8)

6. Броят на реалните корени на уравнението x4 + x2 = 20 е:
А) 0 Б) 1 В) 2 Г) 4
7. Стойността на израза sina +cos a2 +tg 2a +cotg 32a при a =60° :
А) е 1- 3 Б) е 0 В) е 2 3 Г) не съществува

2

8. Неравенството log 1 >log 1 е вярно, когато:        
  a 3 a 4          
А) а<0 Б) 0 < a <1 В) a =1   Г) a >1
9. Общият член на числова редица е an = n2 -8n +16 +21, n `. Номерът n, за който
an приема наймалка стойност, e:          
А) 1 Б) 4 В) 17   Г) 21
10. Разликата на аритметична прогресия, за която a3 =3 и 3a2 -a4 = 4 , е равна на:
А) -12 Б) 12 В) 54   Г) 52
11. В правоъгълна координатна система xOy е построена графиката на функцията
y = x2 -113 x +2 . Точките А и В са пресечните на точки на графиката с абсцисната ос, а
точката С е пресечната точка на графиката с ординатната ос. Ако AB = a и OC =b , то:
А) a <b   Б) a =b     C    
В) a >b   Г) а и b не могат да се сравнят. b a  
     
             
          O A B  
12. Кое от твърденията НЕ е вярно за статистическия ред: 1; 2; 2; 3; 4; 4; 4; 5; 6;
6; 6; 7; 8; 8; 9 ?              
А) Медианата и средноаритметичното на реда са равни.      
Б) Ако се добави нов член на реда, равен на 4, то медианата на получения ред
ще бъде 4,5.              
В) Ако се отстрани един член на реда, равен на 4, то модата на получения ред  
ще бъде по-малка от медианата.          
Г) Ако се добави нов член на реда, равен на 4, то модата на получения ред ще  
бъде по-малка от медианата.          
              3
13. На чертежа ABCDEF е правилен шестоъгълник.      
  Ако в него е вписана окръжност с радиус      
  OH =3 3 , то радиусът на окръжността, вписана в      
  четириъгълника OBCD, е равен на:        
  А) 3   Б) 3 23 В) 3 Г) 2 3      
14. В равнобедрения +ABC на чертежа CM ( M AB) е C    
медиана към основата и MP BC (P BC). Ако    
16    
  BP =9 и PC =16 , то лицето на +ABC е равно на:    
  . P
             
  А) 150   Б) 300 В) 600 Г) 3600 9  
      B
            A    
            M  
                 
              6    

15. В равнобедрен трапец с основи 6 cm и 10 cm е

вписана окръжност. Радиусът на окръжността е:

А) 15 cm Б) 17 cm В) 2 15 cm Г) 2 17 cm 10
 
16. За триъгълника на чертежа отношението a2 : b2 е    
равно на:           a b
             
А) 2 : 3 Б) 2 : 3 В) 2 : 3 Г) 2 : 3 60° 45°
           
17. За успоредника ABCD на чертежа AD =6 , AC = 2 19   D     C
     
       
         
и BD = 4 . Дължината на страната AB е равна на:     6      
                     
А) 10 Б) 18 В) 41 Г) 10          
              A     B
                 
                   

4

18. Даден е +ABC , за койтоAB =10 2 и ACB =135°. Разстоянието от центъра на
описаната около триъгълника окръжност до страната AB е равно на:
А) 2 2 Б) 3 2 В) 4 2 Г) 5 2
19. Лицето на ромб ABCD с диагонал AC = 4 3 и ABC =120° е:  
А) 2 3 Б) 8 В) 6 3 Г) 8 3
20. Даден е +ABC , за който AC =5 3 , BC =12 и S+ABC =15 3 . Дължина на страната
  AB може да бъде числото:          
А) 199 Б) 299 В)   Г)    
399 499

Отговорите на задачите от 21. до 25. включително запишете в свитъка за

свободните отговори!

21. За a >0 и b >0 намерете стойността на числото lg 10ab , ако lg a =7 и lg b =3 .

22. Намерете сбора от корените на уравнението 3x2 +7x +5 = 2x +1 .

23. В правоъгълна координатна система с мерна единица 1 cm са построени графиките на функциите f (x)= x2 + x -17 и g (x)= 2x -5 , а M е обща точка на

двете графики и лежи в първи квадрант. Намерете разстоянието в сантиметри от точка M до началото на координатната система.

24.Фирма се състои от три отдела: административен 4 души със средна заплата

600лв, научен 10 души със средна заплата 550 лв и производствен 36 души със средна заплата 500 лв. Каква е средната заплата във фирмата?

25.Две от страните на разностранен триъгълник са с дължини 4 cm и 6 cm, а мерките на ъглите срещу тях се отнасят съответно както 1 : 2 . Да се намери

третата страна на триъгълника.

5

Пълните решения с необходимите обосновки на задачите от 26. до 28. включително запишете в свитъка за свободните отговори!

26. За членовете на аритметична прогресия a1, a2 , a3 , ... и геометрична прогресия b1, b2 , b3 , ... са в сила равенствата: a1 = 2b1 = 2, a6 =3b2 , a15 = 4b3 . Намерете първите

три члена на двете прогресии.

27.С помощта на цифрите 0, 1, 8 и 9 са записани всички трицифрени числа с

различни цифри и по случаен начин е избрано едно от тях. Каква е вероятността това число да се дели на 9?

28.В +ABC със страна AB = 10 точката O е центърът на вписаната окръжност,

AO = 2 и BO = 2 . Да се намери лицето на +ABC .

6

                                      ФОРМУЛИ                        
                                Квадратно уравнение                      
                                                                       
                        2                                            
ax2 +bx +c =0   x1,2 = -b ±     b -4ac   ax2 +bx +c = a(x -x1 )(x -x2 )              
                    2a                                            
Формули на Виет x1 + x2 = -ba     x1x2 = ac                                
                                Квадратна функция                      
Графиката на y = ax2 +bx +c ,   a 0 е парабола с връх точката (-2ba ; - 4Da)        
                          Корен. Степен и логаритъм                    
2k a2k = a   2k +1 a2k+1 = a ;   при k                              
n m m                                                                    
= a n   nk             n                                              
      mk           m n k a = nk a ; при       n = 2 , k = 2 и n, m, k  
a       a   =       a             a >0 ,  
loga b = x ax =b   loga ax = x aloga b =b ; при b >0, a >0, a 1          
                                  Комбинаторика                      
Брой на пермутациите на n елемента:         Pn =1.2.3...(n -1)n = n!          
Брой на вариациите на n елемента k -ти клас: Vnk = n.(n -1)...(n -k +1)          
Брой на комбинациите на n елемента k -ти клас: Cnk V k     n.(n -1)...(n -k +1)  
= Pn =                
    1.2.3...(k -1)k        
                                                k                      
Вероятност P( A) = бройнаблагоприятнитеслучаи       0 = P( A) =1        
    бройнавъзможнитеслучаи                
                                      Прогресии                        
                          = a1 +(n -1)d             a +a   2a +(n -1)d  
Аритметична прогресия:     an           Sn =   1 2 n n =     1       n
                      2    
                          = a .qn-1                 a q -a     qn -1  
Геометрична прогресия:     a n               S =   n 1 = a          
                          1               n     q -1 1 q -1  
                                            p n                        
                                n                                
Формула за сложна лихва: Kn = K.q = K. 1+100                          
                Зависимости в триъгълник      
Правоъгълен триъгълник: c2 = a2 +b2   S = 12 ab = 12 chc   a2 = a1c   b2 =b1c
hc2 = a1.b1   r = a +2b -c     sina = ac cosa = bc     tga = ba cotga = ba
Произволен триъгълник: a2 =b2 +c2 -2bccosa   b2 = a2 +c2 -2ac cos
c2 = a2 +b2 -2abcos       sinaa = sinb = sinc = 2R      
          2 1 2 2 2 2 1 2 2 2    
Формула за медиана: ma = 4 (2b +2c -a ) mb = 4 (2a +2c -b )    
2 1 2 2 2                            
mc = 4 (2a +2b -c )       ba = mn                    
Формула за ъглополовяща:         lc2 = ab -nm        
                Формули за лице            
          1       1                  
                        p(p -a)(p -b)(p -c)
Триъгълник:   S = 2 chc   S = 2 absin   S =  
        S = pr     S = abc4R                
Успоредник: S = aha S = absina                    
Четириъгълник: S = 1 d d sin                    
        2 1 2                          
Описан многоъгълник: S = pr                      

Тригонометрични функции

a0 00 300   450   600   900
a rad 0   p   p   p p
6   4     3   2
           
    1                    
sina 0   2       3   1
2        
  2     2  
             
                 
                    1    
cosa 1   3     2       0
      2  
2   2      
             
                 
tga 0   3   1     3  
3        
                       
cotga 3   1       3   0
      3  
                       
  -a 0 0 0
  90 -a 90 +a 180 -a
   
sin -sina cosa cosa sina
cos cosa sina -sina -cosa
tg -tga cotga -cotga -tga
cotg -cotga tga -tga -cotga
sin (a ± )=sina cos ±cosasin cos (a ± )=cosa cos sinasin
tg (a ± )= tga ±tg cotg (a ± )= cotgacotg 1
1tgatg   cotg ±cotga
sin 2a = 2sina cosa cos 2a =cos2 a -sin2 a = 2 cos2 a -1 =1-2sin2 a
tg2a = 2tga 2    
cotg2a = cotg a -1 sin2 a = 1 (1-cos 2a) cos2 a = 1 (1+cos 2a)
1-tg2a 2cotga 2 2

sina +sin =2sin a + cos a - 2 2

cosa +cos = 2cos a + cos a -
2 2

sinasin = 12 (cos (a - )-cos (a + ))

sinacos = 12 (sin (a + )+sin (a - ))

sina -sin = 2sin a - cos a + 2 2

cosa -cos = -2sin a + sin a -
2 2

cosacos = 12 (cos (a - )+cos (a + ))